如何简便快速地计算行星齿轮的传动比？行星齿轮传动比计算方法解析

行星齿轮传动比的计算对于机械设计和工程应用至关重要。本文将从2K-H型单行星排入手，通过“转化机构”法，推导出行星传动系统的普遍运动关系式。2K-H型单行星排是行星传动的基础，其基本构件包括太阳轮、行星架和齿圈。通过公式推导，我们可以得到三个基本构件之间的运动学关系式，从而简化行星传动比的计算。对于单行星排，速比计算相对简单。然而，封闭行星传动的速比计算则较为复杂。本文介绍了一种基于基本构件关系式的计算方法，虽然过程较长，但易于理解。此外，我们还可以通过结构简图，将行星传动系统分解为若干单级行星排，从而简化速比计算。本文还推导出了封闭行星传动中的一个重要公式，即公式(12)，它在行星传动效率分析中具有重要应用价值。通过这些公式和方法，我们可以更加简便、快速地计算行星齿轮的传动比，提高设计和应用的效率。总之，掌握行星齿轮传动比的计算方法，需要从基础的2K-H型单行星排入手，理解基本构件之间的关系，并通过公式推导和结构简图，简化计算过程。本文提供了详细的公式和计算方法，有助于读者深入理解行星齿轮传动的基本原理和应用技巧。[ ext{如何简便快速地计算行星齿轮的传动比？} ]

引言：什么是2K-H型？这种分类方式前苏联一个学者提出的：K为中心轮，H为行星架，意为两个中心轮和一个行星架的传动形式；等效为GB标准中的NGW型。

要熟练掌握行星齿轮的传动比的计算方法，就要从最简单的行星机构单行星排2K-H型，用“转化机构”的思想推导出行星传动系统的普遍运动关系式。2K-H型单行星排如图(1)所示：

“转化机构”法就是给整个机构一个和行星架旋转方向相反的一个运动，各个构件之间的相对运动是不变的；这样，我们就把行星传动等效成了太阳轮a-行星轮c-齿圈b三者的定轴传动，其中太阳轮a-行星轮c为外啮合，行星轮c-齿圈b为内啮合；在整个机构以旋转速度nx下，太阳轮a和齿圈b的速比为：

i_{ab}^{x}=frac{na-nx}{nb-nx}=-frac{zb}{za}(公式1)

为简化起见，通常把内齿圈和太阳轮齿数的比值用p代替，称之为行星排的特征参数；把(1)式化简，可得：

n_{a}+p*n_{b}=(1+p)*n_{x}(公式2)

(2)式是行星传动中的三基本构件的运动学关系式，具有普适性。在2K-H结构中内齿圈固定即nb=0；故速比为：i_{ax}^{b}=1+p

2K-H型单行星排由三个基本构件：太阳轮，行星架和齿圈

(所谓的基本构件就是传递外力的构件，太阳轮接受外力输入；行星架把扭矩输出给外部负载；齿圈是固定的，其实也就是相当于有一个外力给它让它保持静止嘛；而行星轮虽然与太阳轮和齿圈内啮合，由啮合力的传递，但属于内力，没有与外部构件直接发生关系，它不属于基本构件)。

好了，知道了什么是基本构件，我们把公式(1)变化一下，导出三个基本构件的速度关系式的另外一种形式;首先，同公式(1)推导相同，则太阳轮和齿圈相当于齿圈的速比的表达式为：i_{ax}^{b}=frac{na-nb}{nx-nb}(公式3)

对比公式(1)和(3)，显然有：i_{ax}^{b}=1-i_{ab}^{x}(公式4)

i_{ab}^{x}*({nb-nx})=({na-nx}),把nx移到等式左边：na=i_{ab}^{x}*({nb-nx})+nx，再把公式(4)代入，可得：na=i_{ab}^{x}*nb+i_{ax}^{b}*nx(公式5)

另外：显然有i_{ax}^{b}*i_{xa}^{b}=1公式(6)

好了，到此为止，我们推导了行星传动中至关重要的4个公式，如下：

na+p*n_{b}=(1+p)*n_{x}(公式2)

i_{ax}^{b}=1-i_{ab}^{x}(公式4)

na=i_{ab}^{x}*nb+i_{ax}^{b}*nx(公式5)

i_{ax}^{b}*i_{xa}^{b}=1公式(公式6)

公式(2)是公式(5)的一个特例，它们的物理意义是：在行星传动中的3个基本构件中，任意两个构件的运动状态决定了另外一构件的运动状态。或者换言之：在行星传动中的3个基本构件中，任意一个构件的运动可分解成另外两构件的运动。

对于单行星排的速比计算还是十分简单的，接下来是比较绕脑的封闭行星传动的速比计算，一种2级封闭行星传动如下图所示：

像这种比较复杂的行星机构速比的计算有若干种方法，首先介绍一个比较容易理解的方法；

很显然，固连的构件其转速相等，得n_{a1}=n_{a2}；n_{x1}=n_{b2}(7)；待解的速比为i_{AB}=i_{a1x2}=frac{na1}{nx2}；由基本构件的普遍关系式，结合(7)式，即可求得frac{na1}{nx2}；

虽然这种求解方法通俗易懂，但是过程比较冗长；是不是有一种更简洁的方法呢？我们再回头分析一下2K-H型单行星排，这是行星传动的基础，无论多么复杂的行星传动系统，都是由若干单级行星排组合而成的；好了，知道了什么是基本构件，我们换一个思路重新审视图(1)：根据传递的功率流向，把它的传动系统的结构简图画出来：

上面我们已经推导了3个基本构件的关系为，用结构简图的符号，把最重要的公式再写一下：

i_{AB}^{E}=1-i_{AE}^{B}(公式8)

nA=i_{AB}^{E}*nB+i_{AE}^{B}*nE(公式9)

同理，我们把图(2)中两级封闭行星传动的结构简图也画出来，如下：

故待求解速比i_{deltagamma}

在行星传动A1中，三基本构件的运动学关系式：n_{gamma}=i_{gammaeta}^{alpha}*n_{eta}+i_{gammaalpha}^{eta}*n_{alpha}(公式10)

结构简图(4)对于传动简图(2)中的各个部件：δ和β为太阳轮a1(或a2)，α为齿圈c2(或行星架x1)，gamma为行星架x2；我们可以得到：

i_{gammaeta}^{alpha}=i_{x2a2}^{c2}=frac{1}{i_{a2x2}^{c2}}=frac{1}{1+p2};

i_{etadelta}=1(delta与eta为固连部件，n_{delta}=n_{eta})；

i_{gammaalpha}^{eta}=i_{x2c2}^{a2}=1-i_{x2a2}^{c2}=1-frac{1}{1+p2};i_{alphadelta}=i_{x1a1}^{c1}=frac{1}{1+p1};

所以，上面各式代入到公式(11)：

i_{gammadelta}=frac{1}{1+p2}+(1-frac{1}{1+p2})*frac{1}{1+p1}=frac{1+p1+p2}{(1+p1)(1+p2)}

故：i_{deltagamma}=frac{(1+p1)(1+p2)}{1+p1+p2}

引申一下：

公式(10)等号两侧同除以n_{delta}，得：n_{gamma}/n_{delta}=i_{gammaeta}^{alpha}*n_{eta}/n_{delta}+i_{gammaalpha}^{eta}*n_{alpha}/n_{delta}，进一步化简：

i_{gammadelta}=i_{gammaeta}^{alpha}*i_{etadelta}+i_{gammaalpha}^{eta}*i_{alphadelta}(公式11)

令：i_{gammaeta}^{alpha}*i_{etadelta}=i_{gammadelta}^{alpha}；i_{gammaalpha}^{eta}*i_{alphadelta}=i_{gammadelta}^{eta}，所以公式(11)等效为：

i_{gammadelta}=i_{gammaeta}^{alpha}*i_{etadelta}+i_{gammaalpha}^{eta}*i_{alphadelta}(公式12)

我们得到了一个非常重要得公式(12)，在封闭行星传动效率分析中将有重要用途！

参考资料《行星齿轮传动设计》-饶振刚

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