自动驾驶控制算法——车辆动力学模型是什么？

在自动驾驶车辆控制中，车辆动力学模型的建立和分析是进行控制器设计的基础。本文将分别介绍车辆在全局坐标系和道路坐标系下的动力学模型，为控制器分析设计提供依据。车辆动力学建模时，重点关注横向力问题。假设纵向车辆速度是单独控制的，在给定车辆质量m的情况下，将车辆侧向力相加，得出力矩平衡方程。假设车辆没有横向滑移，前后轮胎的侧偏角可以表示为车辆轮胎的朝向和轮胎速度方向的夹角。假设车辆轮胎为线性模型，即轮胎横向力和侧偏角成正比。假设车辆纵向速度为常值，整理前面的公式可以得到车辆在全局坐标系下的动力学模型。进一步整理，可以得到完整的车辆线性动力学在全局坐标系下的表示。在道路坐标系下进行动力学模型的建立，将有助于进行模型分析和控制器设计。假设纵向车速恒定，则车辆横摆角速度可表示为道路曲率。车辆横向加速度有相应的表达式。将上式进行替换整理，可以得到车辆动力学模型在道路坐标系下的表示。至此，我们得到了车辆动力学模型在全局坐标系和道路坐标系下的方程表示，在后续的自动驾驶车辆控制器设计分析中可以根据需要进行选择使用。自动驾驶控制算法中，车辆动力学模型的建立和分析对于控制器设计至关重要。本文详细介绍了车辆在全局坐标系和道路坐标系下的动力学模型，包括横向力问题、力矩平衡方程、轮胎侧偏角、线性轮胎模型等关键因素。通过整理和线性化处理，得到了车辆在全局坐标系和道路坐标系下的动力学模型方程。这些模型为自动驾驶车辆控制器的设计和分析提供了重要依据，可以根据实际需求进行选择和应用。

在自动驾驶车辆控制中，车辆模型的建立和分析是进行控制器设计的基础，在之前我们详细介绍了车辆在全局坐标系和道路坐标系下的运动学模型，如下链接：

但在实际的车辆控制过程中，某些场景下车辆的动力学特性不能忽略，比如高速场景、转弯场景等，都需要对车辆的动力学模型进行有效地建立。为此，本文将分别介绍车辆在全局坐标系和道路坐标系下的动力学模型，为后面的控制器分析设计提供依据。

在进行车辆动力学建模时，车辆上的横向力将是重点关注的问题。在这里假设纵向车辆速度是单独控制的，在给定车辆质量m的情况下，将图1所示的车辆侧向力相加，得出：

F_{yf}{ m{cos}}(delta)-F_{xf}{ m{sin}}(delta)+F_{yr}=m(dot{v}_y+v_xr)

其中，delta为前轮转角，v_x和v_y为车辆质心处的纵向速度和横向速度，r为车辆的横摆角速度，F_{yr}和F_{xr}为车辆后轮上的横向力和纵向力，F_{yf}和F_{xf}为车辆前轮上的横向力和纵向力。

假设车辆只在平面内运动，则车辆的力矩平衡方程为：

l_f(F_{yf}{ m{cos}}(delta))-l_r(F_{yr}-F_{xf}{ m{sin}}(delta))=I_zdot{r}

其中，l_f和l_r为车辆质心到前轮和后轮中心的距离，I_z为车辆绕z轴的转动惯量。

假设车辆没有横向滑移，前后轮胎的侧偏角alpha_f和alpha_r可以表示为：

alpha_f={ m{tan}}^{-1}left(frac{v_y+l_fr}{v_x} ight)-delta

alpha_r={ m{tan}}^{-1}left(frac{v_y-l_rr}{v_x} ight)

轮胎侧偏角的含义是车辆轮胎的朝向和轮胎速度方向的夹角，因为车辆转弯需要有向心力，轮胎的侧偏角可以帮助车辆提供一定的横向力。

假设车辆轮胎为线性模型，即轮胎横向力和侧偏角成正比，即：

F_{yf}=-c_falpha_f

F_{yr}=-c_ralpha_r

其中，c_f和c_r分别为前轮和后轮的侧偏刚度。

假设车辆纵向速度为常值，即dot{v}_x=0，并假设F_{xf}=0，整理前面的公式可以得到车辆在全局坐标系下的动力学模型为：

dot{v}_y=frac{-c_fleft[{ m{tan}}^{-1}left(frac{v_y+l_fr}{v_x} ight)-delta ight]{ m{cos}}(delta)-c_r{ m{tan}}^{-1}left(frac{v_y-l_rr}{v_x} ight)}{m}-v_xr

dot{r}=frac{-l_fc_fleft[{ m{tan}}^{-1}left(frac{v_y+l_fr}{v_x} ight)-delta ight]{ m{cos}}(delta)+l_rc_r{ m{tan}}^{-1}left(frac{v_y-l_rr}{v_x} ight)}{I_z}

上述模型很明显为非线性模型，为了简化，我们对其进行线性化处理，利用三角函数的小角度近似之后，可以得到：

dot{v}_y=frac{-c_fv_y-c_fl_fr}{mv_x}+frac{c_fdelta}{m}+frac{-c_rv_y+c_rl_rr}{mv_x}-v_xr

dot{r}=frac{-l_fc_fv_y-c_fl_f^2r}{I_zv_x}+frac{l_fc_fdelta}{I_z}+frac{l_rc_rv_y-c_rl_r^2r}{I_zv_x}

进一步整理，可以得到完整的车辆线性动力学在全局坐标系下的表示：

left[egin{array}{c}dot{v}_ydot{r}end{array} ight]=left[egin{array}{c}frac{-(c_f+c_r)}{mv_x}&frac{l_rc_r-l_fc_f}{mv_x}-v_xfrac{l_rc_r-l_fc_f}{I_zv_x}&frac{-(l_f^2c_f+l_r^2c_r)}{I_zv_x}end{array} ight]left[egin{array}{c}v_y end{array} ight]+left[egin{array}{c}frac{c_f}{m}frac{l_fc_f}{I_z}end{array} ight]delta

在道路坐标系下进行动力学模型的建立，将会有助于我们进行模型分析和控制器设计，如图2所示为车辆在道路坐标系下的动力学模型。同样假定纵向车速恒定，则车辆横摆角速度可表示为：

r(s)=kappa(s)v_x

其中，kappa为道路曲率。车辆横向加速度有：

dot{v}_y(s)=kappa(s)v_x^2

假设e_{cg}为车辆质心到道路参考线的横向误差距离，则有：

egin{equation}egin{aligned}ddot{e}_{cg}&=(dot{v}_y+v_xr)-dot{v}_y(s)&=dot{v}_y+v_x(r-r(s))&=dot{v}_y+v_xdot{ heta}_eend{aligned}end{equation}

dot{e}_{cg}=v_y+v_x{ m{sin}}( heta_e)

其中， heta_e为车辆和参考线之间的航向角误差。

我们将上式进行替换整理，可以得到车辆动力学模型在道路坐标系下的表示：

left[egin{array}{c}dot{e}_{cg}ddot{e}_{cg}dot{ heta}_eddot{ heta}_eend{array} ight]=left[egin{array}{c}0&1&0&0&frac{-(c_f+c_r)}{mv_x}&frac{c_f+c_r}{m}&frac{l_fc_f-l_fc_f}{mv_x}&0&0&1&frac{l_rc_r-l_fc_f}{I_zv_x}&frac{l_fc_f-l_rc_r}{I_z}&frac{-(l_f^2c_f+l_r^2c_r)}{I_zv_x}end{array} ight]left[egin{array}{c}{e}_{cg}dot{e}_{cg}{ heta}_edot{ heta}_eend{array} ight]+left[egin{array}{c}0frac{c_f}{m}frac{l_fc_f}{I_z}end{array} ight]delta+left[egin{array}{c}0frac{l_rc_r-l_fc_f}{mv_x}-v_xfrac{-(l_f^2c_f+l_r^2c_r)}{I_zv_x}end{array} ight]r(s)

其中，r(s)表示的是参考轨迹线的期望横摆角速度，即r(s)=v_xkappa(s)。

至此，我们得到了车辆动力学模型在全局坐标系和道路坐标系下的方程表示，在后续的自动驾驶车辆控制器设计分析中可以根据需要进行选择使用。

参考文献：

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