【高等代数(丘维声著)笔记】6.11线性变换的Jordan标准形是什么？

在高等代数的学习中，理解线性变换的Jordan标准形是至关重要的。Jordan标准形不仅揭示了线性变换的本质特征，还为研究线性变换的性质提供了强有力的工具。本节内容详细探讨了如何将一个线性变换表示为其Jordan标准形，即一个由Jordan块组成的对角矩阵。通过分析线性变换的最小多项式，我们可以确定其特征值和相应的Jordan块结构。每个Jordan块对应一个特征值，并且块的大小由特征值的代数重数决定。此外，推论部分进一步阐述了Jordan标准形与线性变换的最小多项式之间的关系，以及如何从Jordan标准形推导出线性变换的特征多项式。这些理论不仅加深了我们对线性变换的理解，也为解决更复杂的线性代数问题奠定了基础。在高等代数中，线性变换的Jordan标准形是理解其性质的关键。通过分析最小多项式，我们可以将变换表示为由特征值和对应Jordan块组成的对角矩阵。每个块的大小反映了特征值的代数重数，而推论则进一步揭示了Jordan标准形与最小多项式和特征多项式之间的联系。这些理论不仅加深了对线性变换的理解，也为解决更复杂的线性代数问题提供了工具。

上一节：6.10幂零变换的Jordan标准形

下一节：6.12线性函数与对偶空间

高等代数笔记收录在：高等代数(丘维声著)笔记目录

本节阐述线性变换的Jordan标准形。

定理1

证明

1处：这个其实在6.9节的末尾有说过。任取ainW_j= ext{Ker}(underline{A}-lambda_junderline{I})^{l_j},那么有

underline{B_j}^{l_j}(a)=(underline{A}W_j-lambda_junderline{I})^{l_j}(a)=(underline{A}-lambda_junderline{I})^{l_j}(a)=0

因此underline{B_j}就是W_j上的一个幂零变换，其幂零指数小于等于l_j。不难分析得到(lambda-lambda_j)^{l_j}就是underline{A}W_j的一个零化多项式，那么underline{A}W_j最小多项式为(lambda-lambda_j)^{t_j},其中t_jlel_j,根据6.9节的定理1以及标准分解式的唯一性可得t_j=l_j,则underline{A}W_j最小多项式为(lambda-lambda_j)^{l_j}。当x

2处：整个矩阵A的形式为

而对于每个A_i,i=1,2dots,s而言，其形式为

即对角线全是lambda_i的Jordan矩阵，注意A_i并不是对角线为lambda_j的Jordan块，因为

打叉的地方是0，而不是1。尽管A_i,i=1,2,dots,s不是Jordan块，但是A仍然是Jordan矩阵，因为A_i是由Jordan块构成的，A是由A_i构成的，那么A也是由Jordan块构成的。

3处：这个例18指的是

证明已经写得很清晰了，仅谈1处：为了用第(1)问的结论，可以设g(lambda)=p_1^{l_1}p_2^{l_2}dotsp_j^{t}dotsp_s^{l_s}。其中tgel_j。当然，这个例子实在看不懂，关系也不大，主要是为了用结论(3)。

4处：这里的N_j(t)必须要换成一关于underline{A}的表达式，因为underline{B}是中间变量，我们并不知道它具体是什么。tlel_j是源自上一节的定理2。

5处：详见2处。

最后说一下这个定理说了什么：如果underline{A}的最小多项式可分解为m(lambda)=(lambda-lambda_1)^{l_1}(lambda-lambda_2)^{l_2}dots(lambda-lambda_s)^{l_s}，那么线性变换在某个基(我们并不真的需要知道这个基)下的矩阵为Jordan矩阵。

具体来说，由underline{A}的最小多项式我们知道了underline{A}的特征值为lambda_1,lambda_2,dots,lambda_s,那么underline{A}在此基的矩阵为A= ext{diag}{A_1,A_2,dots,A_s},其中A_i,i=1,2,dots,s本身就是一个Jordan矩阵，当然整体A也是Jordan矩阵(由A_i,i=1,2,dots,s各个Jordan块构成的Jordan矩阵)。

对于A_i而言，它是对应特征值为lambda_i的Jordan矩阵，它的每个Jordan块均是J_t(lambda_i),tlel_i,总的Jordan块数N_i=n- ext{rank}(underline{A}-lambda_iunderline{I}),其中n表示线性空间V的维数，显然underline{A}-lambda_iunderline{I}就是一个具体的变换，为了求得它的秩，根据线性变换的秩的定义，可取V上一个简单的基，然后求得在此基下的矩阵A-lambda_iI，而 ext{rank}(underline{A}-lambda_iunderline{I})= ext{rank}(A-lambda_iI)。此外，N_i(t)= ext{rank}(underline{A}-lambda_iunderline{I})^{t+1}+ ext{rank}(underline{A}-lambda_iunderline{I})^{t-1}-2 ext{rank}(underline{A}-lambda_iunderline{I})^{t}，即在属于特征值lambda_i中的N_i个Jordan块中，t级Jordan块(tlel_j)的数目是多少，注意对于任意变换underline{C},以及某基下的矩阵C,那么有underline{C}^l在此基下的矩阵为C^l。

推论1

因为 ext{Hom}(V,V)congM_n(K),因此必然存在一个线性变换underline{A}使得它在某基下的矩阵就是A，而underline{A}和A的最小多项式是一致的。由定理1得underline{A}必然在另一个基下的矩阵是Jordan矩阵。又因为underline{A}在不同基下的矩阵是相似的。

推论2

1处：补充9.6节的命题6

2处：Jordan矩阵的每个Jordan块的最小多项式均为最小多因式的乘积，那么根据推论4可得Jordan矩阵的最小多项式为这些Jordan块的最小多项式的最小公倍式，其结果为一次因式的乘积。

推论3

推论4

证明：

证明implies：矩阵A和Jordan形矩阵相似，那么它们可以看成是某个变换underline{A}在不同基下的矩阵，由于Jordan形矩阵的最小多项式为一次因式的乘积，而线性变换underline{A}与其对应的矩阵的最小多项式是一致的，因此矩阵A的最小多项式m(lambda)也是一次因式的乘积，由于A的特征多项式是m(lambda)的倍数且和m(lambda)同根，因此A的特征多项式也可以分解为因此因式的乘积。

证明impliedby：A的最小多项式m(lambda)(或者A的特征多项式f(lambda))能分解成一次因式的乘积均可推出其对应的线性变换underline{A}的最小多项式m(lambda)能分解成一次因式的乘积，由定理1得underline{A}在某基下的矩阵便为Jordan标准形。又由于underline{A}在不同基下的矩阵是相似的，因此矩阵A相似于一个Jordan形矩阵。

推论5

推论6

这个我不知道怎么来的，暂且记在这儿吧。

以上内容由58汽车提供。如有任何买车、用车、养车、玩车相关问题，欢迎在下方表单填写您的信息，我们将第一时间与您联系，为您提供快捷、实用、全面的解决方案。