DCT与DFT关系探究：为何DCT可以视为DFT的特例？

本文探讨了离散余弦变换(DCT)与离散傅里叶变换(DFT)之间的关系，通过延拓实数序列x并对其进行DFT变换，发现DCT的第一种形式可以视为延拓序列DFT变换结果的前N项。文章还详细推导了DCT公式，并解释了如何通过修改公式使DCT成为正交变换。通过scipy和MATLAB的代码验证，证明了推导的正确性，并展示了修改后的DCT与MATLAB中dct函数的一致性。

最近在理解DCT与DFT，正好写下来和大家一起分享，第一次写技术博客，不足之处还各位网友望批评指正。

在这里研究长度为N的一维实数序列x=left{x[0],x[1],…,x[N-1] ight},x[n]inmathbb{R}的DCT和DFT。

根据scipy的说明文档上对于DCT的描述，DCT有四种形式，本文我们讨论第一种形式。scipy对DCT的说明链接如下：

首先回顾一下离散傅里叶变换(DFT)，公式如下：

egin{aligned}X[k]&=sum_{n=0}^{N-1}x[n]cdote^{-frac{i2pi}{N}kn}&=sum_{n=0}^{N-1}x[n]cdotleft[cosleft(frac{2pi}{N}kn ight)-icdotsinleft(frac{2pi}{N}kn ight) ight]end{aligned}

大家知道，一般的实数序列的傅里叶变换为复数，在序列为偶对称序列的情况下，其傅里叶变换为实数，好，我们现在对序列x进行延拓。令：

y=left[x_0,x_1,…,x_{N-2},x_{N-1},x_{N-2},…,x_2,x_1 ight]

y的长度记作M，M=2(N-1)。y中的元素除了x_0和x_{N-1}没有重复，其他所有的元素都对x_{N-1}呈镜像对称。很显然，序列y有如下特性：

y[m]=y[N-m]quadforquadm=0,1,2,…,M-1

举个例子：

输出结果为：

现在，我们对序列y进行离散傅里叶变换：

egin{aligned}Y[k]&=sum_{m=0}^{M-1}y[m]cdote^{-frac{i2pi}{M}km}&=sum_{m=0}^{M-1}y[m]cdotleft[cosleft(frac{2pi}{M}km ight)-icdotsinleft(frac{2pi}{M}km ight) ight]end{aligned}

对于没有镜像对称的两个元素y[0],y[frac{M}{2}]，将他们单独写出来，方便化简。

对于m=0，有：cosleft(frac{2pi}{M}k*0 ight)=1,sinleft(frac{2pi}{M}k*0 ight)=0

对于m=frac{M}{2}，有：cosleft(frac{2pi}{M}k*frac{M}{2} ight)=(-1)^k,sinleft(frac{2pi}{M}k*frac{M}{2} ight)=0

于是：

egin{aligned}Y[k]&=y[0]+(-1)^ky[frac{M}{2}]&+sum_{m=1}^{frac{M}{2}-1}y[m]cdotleft[cosleft(frac{2pi}{M}km ight)-icdotsinleft(frac{2pi}{M}km ight) ight]&+sum_{m=frac{M}{2}+1}^{M-1}y[m]cdotleft[cosleft(frac{2pi}{M}km ight)-icdotsinleft(frac{2pi}{M}km ight) ight]end{aligned} ag{1}

利用正弦余弦函数的性质：

egin{aligned}cosleft[frac{2pi}{M}k(M-m) ight]&=cosleft[2pik-frac{2pi}{M}km ight]=cosleft[frac{2pi}{M}km ight]sinleft[frac{2pi}{M}k(M-m) ight]&=sinleft[2pik-frac{2pi}{M}km ight]=-sinleft[frac{2pi}{M}km ight]end{aligned}

并根据序列y的对称性：

y[m]=y[N-m]quadforquadm=0,1,2,…,M-1

则(1)式的后两项的实部完全相等，虚部互为相反数，因此(1)式进一步化简为：

Y[k]=y[0]+(-1)^ky[frac{M}{2}]+2sum_{m=1}^{frac{M}{2}-1}y[m]cosleft(frac{2pikm}{M} ight) ag{2}

由于M=2(N-1)，同时根据序列x与y之间的关系，有：

Y[k]=x[0]+(-1)^kx[N-1]+2sum_{n=1}^{N-2}x[n]cosleft(frac{pikn}{N-1} ight) ag{3}

公式(3)即为序列x的离散余弦变换。与scipy说明文档中，DCT的第一种表达式完全一致，见下图。

因此，我们得出结论，序列x的DCT和延拓序列y的DFT的前N位完全一致。dct(x)和fft(y)的长度必然不同，因此我们我们只看前N位。

最后需要说明的是，(3)式所表达的DCT不是正交变换，弱要进行正交变换，则要对(3)式进行简单的修改：

修改一：x[0]leftarrowsqrt{2}*x[0],quadx[N-1]leftarrowsqrt{2}*x[N-1]

修改二：Y[0]leftarrowfrac{Y[0]}{sqrt{2}},quadY[N-1]leftarrowfrac{Y[N-1]}{sqrt{2}}

修改三：Y[k]leftarrowY[k]*frac{1}{2}*sqrt{frac{2}{N-1}}

经过这三步修改，最终的DCT为正交变换。与MATLAB中dct函数的说明文档对比一下：

读者朋友们可以仔细对比一下，修改后的(3)式和MATLAB说明文档给出的公式是一致的。需要注意的是，MATLAB的数组索引是从1开始，而本文中的数组索引是从0开始。

首先看scipy的代码验证：

输出结果为：

然后看MATLAB的代码验证，MATLAB中的自带函数dct只有正交变换：

输出结果为：

可见，MATLAB和scipy的计算结果一致，且与我们的推导一致。

最后，可以验证修改后的dct是否是正交变换，验证x与dct(x)的模是否相等即可，在MATLAB命令行输入：

输出：

可见我们验证了修改后的dct为正交变换。

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