时间平均速度和空间平均速度的区别与联系是什么？

本文介绍了时间平均速度和空间平均速度的定义，并通过数学公式和x-t图例解释了它们。时间平均速度以流量加权计算，关注时间维度上的平均速度；空间平均速度以密度加权计算，关注空间维度上的平均速度。两者在交通流分析中都很重要，且空间平均速度通常小于时间平均速度，除非所有车辆速度相等。通过实例说明了两者在实际场景中的应用与计算。

本文讨论了时间平均速度和空间平均速度的定义，并用一个场景对此进行举例说明。

q=frac{m_1+m_2}{T}=frac{frac{T}{h_1}+frac{T}{h_2}}{T}=frac{1}{h_1}+frac{1}{h_2}=q_1+q_2 ag{1}

k=frac{n_1+n_2}{L}=frac{frac{L}{s_1}+frac{L}{s_2}}{L}=frac{1}{s_1}+frac{1}{s_2}=k_1+k_2 ag{2}

假设此时交通流已经达到了稳定状态。上述公式中q,k,q_i,k_i,T,L,m_i,n_i,h_i,s_i分别代表：总流量(flow)，总密度(density)，第i股交通流的流量，第i股交通流的密度，时间间隔，道路长度，时间间隔T内第i股交通流中车辆数，道路长度为L的路段第i股交通流的密度，第i股交通流的车头时距(headway)，第i股交通流的车头间距(spacing)。公式(1)和公式(2)还可以泛化到I股交通流的累加，并可以由他们得出结论：交通流(flow)和密度(density)是可以累加的。

定义：由交通流量算数加权的平均速度

Definition:Timemeanspeedisthearithmeticmeanofspeedweightedbyflow

证明：

overline{v}_t=frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}=frac{frac{T}{h_1}v_1+frac{T}{h_2}v_2}{frac{T}{h_1}+frac{T}{h_2}}=frac{frac{1}{h_1}v_1+frac{1}{h_2}v_2}{frac{1}{h_1}+frac{1}{h_2}}=frac{q_1v_1+q_2v_2}{q_1+q_2}=frac{sumq_iv_i}{sumq_i} ag{3}

如何用x-t图理解时间平均速度：

首先画出一个红色虚线框，是我们要研究的“区域”，它时间跨度为T=3小时，路段的空间跨度为L=80km，如图1所示。时间平均速度关注的是时间维度(横向)的平均速度，也就是有三辆快车(橙色编号，为8、10、12)和三辆慢车(蓝色编号，为7、9、11)的平均速度，为(3 imes40+3 imes20)/6=30km/h。

定义：由密度算数加权的平均速度

Definition:Spacemeanspeedisthearithmeticmeanofspeedweightedbydensity

证明：

overline{v}_s=frac{n_1v_1+n_2v_2}{n_1+n_2}=frac{frac{L}{s_1}v_1+frac{L}{s_2}v_2}{frac{L}{s_1}+frac{L}{s_2}}=frac{frac{1}{s_1}v_1+frac{1}{s_2}v_2}{frac{1}{s_1}+frac{1}{s_2}}=frac{k_1v_1+k_2v_2}{k_1+k_2}=frac{sumk_iv_i}{sumk_i} ag{4}

由公式(3)还可以引申出，overline{v}_s=frac{sumk_iv_i}{sumk_i}=frac{sumq_i}{sumk_i}=frac{q}{k}，所以基本图(fundamentaldiagram)里面的斜率是spacemeanspeed。

在x-t图上，空间平均速度可以理解为空间维度(纵向)的平均速度。如图1所示，纵向切过的车辆轨迹涉及到两辆快车(橙色编号，为2、5)和四辆慢车(蓝色编号，为1、3、4、6)。所以空间平均速度为(2 imes40+4 imes20)/6=80/3km/h。

空间平均速度总是小于时间平均速度[1]。根据图1所示，因为相较于时间平均速度的横向尺度空间平均速度在纵向尺度上会涉及更多的慢车，因此得到的平均值必然小于时间平均速度，而这个结果是不可避免的，除非所有车的速度相等。数学证明可见木叶的忧伤的文章[2]

我们假设一个真实世界场景，现在有三辆车A、B、C，在一个40km的环形场地分别以40km/h，20km/h，20km/h的速度运动，同速度的车之间车头间距不变。接下来我们计算这个系统的时间平均速度和空间平均速度。

首先按照速度，把车分成两股交通流，第一股是A车，第二股是B、C车。求出第一、第二股交通流各个交通基本量：v_1=40km/h,k_1=frac{1}{40}veh/km,q_1=1veh/h,v_2=20km/h,k_2=frac{1}{20}veh/km,q_2=1veh/h。由于这些交通基本量和图1所示的开口边界模型一致，因此这两个系统的时间平均速度、空间平均速度应该是相等的。

根据公式(3)，可以得到时间平均速度，overline{v}_t=frac{sumq_iv_i}{sumq_i}=frac{1 imes40+1 imes20}{1+1}=30km/h，与图1系统相等。

根据公式(4)，可以得到空间平均速度，overline{v}_s=frac{sumk_iv_i}{sumk_i}=frac{1+1}{frac{1}{40}+frac{1}{20}}=frac{80}{3}km/h，于图1系统相等。

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