简化传动链模型用于Anti-jerk控制

在之前的系列传统动力总成动力学仿真中，我们已经对整体的传动链进行了仿真。由于其中多个零部件涉及到了非线性的特征，不方便用经典控制理论进行控制，因此为了后面进行控制方案设计，需要对模型进行一定的简化，忽略掉非线性部分。简化的模型忽略掉了发动机的动态特性和传动链中的摩擦阻力。变速箱的转动惯量与飞轮和车轮相比可以忽略不计，离合器视为刚体，同时也不考虑传动链中的间隙。采用与前面系列中类似的推导过程，我们可以得到如下方程：I_f*ddot{ heta}_{f}=T_f-frac{T_d}{i_t}T_d=left(k_s*left(frac{ heta_f}{i_t}- heta_{w} ight)+c_s*left(frac{dot{ heta}_{f}}{i_t}-dot{ heta}_{w} ight) ight)2*I_w*ddot{ heta}_{w}=T_d-r*F_t车轮上的受力分析与之前一样，方程如下：left(2*I_w+m*r^{2} ight)*ddot{ heta}_{w}=T_d-left(F_r*r+F_a*r+m*g*rcdotsin(eta) ight)综合以上几个方程，我们可以得到如下微分方程：I_f*ddot{ heta}_{f}=T_f-left(frac{k_{s}}{i_t}*left(frac{ heta_f}{i_t}- heta_{w} ight)+frac{c_{s}}{i_t}*left(frac{dot{ heta}_{f}}{i_t}-dot{ heta}_{w} ight) ight)I_c*ddot{ heta}_{w}=k_{s}*left(frac{ heta_f}{i_t}- heta_{v} ight)+c_{s}*left(frac{dot{ heta}_{f}}{i_t}-dot{ heta}_{w} ight)-T_t其中I_c为等效的车轮和车身转动惯量left(2*I_w+m*r^{2} ight),阻力力矩T_t为：T_t=F_r*r+F_a*r+m*g*rcdotsin(eta)由于在实际系统中，阻力力矩变化比较慢，相对于控制器的运算频率来说已经很慢，所以我们在设计控制系统时认为阻力力矩是一个干扰量。下面我们来用状态空间方程来描述传动链这个系统，该系统有两个输入量：发动机输出扭矩T_f和车轮端的阻力矩T_t.同时，引入三个状态量，分别是传动链中的扭转角度，车轮转速和发动机转速：egin{array}{l}{X_{1}=left(frac{ heta_f}{i_t}- heta_{v} ight)}{X_{2}=dot{ heta}_{w}}{X_{3}=dot{ heta}_{f}}end{array} ight]状态空间方程如下：left[egin{array}{c}{dot{X}_{1}}{dot{X}_{2}}{dot{X}_{3}}end{array} ight]=left[egin{array}{ccc}{0}&-1&frac{1}{i_{t}}}{frac{k_{s}}{I_{C}}}&-frac{c_{s}}{I_{C}}}&frac{c_{s}}{i_tcdotI_{C}}}{frac{-k_{s}}{i_t*I_{F}}}&frac{c_{s}}{i_t*I_{F}}}&frac{-c_{s}}{i_t^{2}}end{array} ight]left[egin{array}{c}{X_{1}}{X_{2}}{X_{3}}end{array} ight]+left[egin{array}{cc}{0}&0&-frac{1}{I_{c}}}{frac{1}{I_{f}}}&0end{array} ight]left[egin{array}{c}{T_f}&T_t}&0end{(right)}]{right}]输出量为驱动轴扭矩T_d

在前面的系列传统动力总成动力学仿真中，我们能对整体的传动链进行了仿真。由于其中多个零部件涉及到了非线性的特征，不方便用经典控制理论进行控制，因此为了后面进行控制方案设计，需要对模型进行一定的简化，忽略掉非线性部分。

简化的模型忽略掉了发动机的动态特性和传动链中的摩擦阻力。变速箱的转动惯量与飞轮和车轮相比可以忽略不计，离合器视为刚体，同时也不考虑传动链中的间隙。

采用与前面系列中类似的推导过程，我们可以得到如下方程：

I_{f}cdotddot{ heta}_{f}=T_{f}-frac{T_{d}}{i_{t}}

T_{d}=left(k_{s}cdotleft(frac{ heta_f}{i_t}- heta_{w} ight)+c_{s}cdotleft(frac{dot{ heta}_{f}}{i_{t}}-dot{ heta}_{w} ight) ight)

2cdotI_{w}cdotddot{ heta}_{w}=T_{d}-rcdotF_{t}

车轮上的受力分析与之前一样，方程如下：

left(2cdotI_w+mcdotr^{2} ight)cdotddot{ heta}_{w}=T_{d}-left(F_{r}cdotr+F_{a}cdotr+mcdotgcdotrcdotsin(eta) ight)

综合以上几个方程，我们可以得到如下微分方程：

I_{f}cdotddot{ heta}_{f}=T_{f}-left(frac{k_{s}}{i_{t}}cdotleft(frac{ heta_f}{i_t}- heta_{w} ight)+frac{c_{s}}{i_t}cdotleft(frac{dot{ heta}_{f}}{i_t}-dot{ heta}_{w} ight) ight)

I_{c}cdotddot{ heta}_{w}=k_{s}cdotleft(frac{ heta_f}{i_t}- heta_{v} ight)+c_{s}cdotleft(frac{dot{ heta}_{f}}{i_t}-dot{ heta}_{w} ight)-T_{t}

其中I_c为等效的车轮和车身转动惯量left(2cdotI_w+mcdotr^{2} ight)，阻力力矩T_t为：

T_{t}=F_{r}cdotr+F_{a}cdotr+mcdotgcdotrcdotsin(eta)

由于在实际系统中，阻力力矩变化比较慢，相对于控制器的运算频率来说已经很慢，所以我们在设计控制系统时认为阻力力矩是一个干扰量。

下面我们来用状态空间方程来描述传动链这个系统，该系统有两个输入量：发动机输出扭矩T_f和车轮端的阻力矩T_t.同时，引入三个状态量，分别是传动链中的扭转角度，车轮转速和发动机转速：

egin{array}{l}{X_{1}=left(frac{ heta_f}{i_{t}}- heta_{v} ight)}{X_{2}=dot{ heta}_{w}}{X_{3}=dot{ heta}_{f}}end{array}

状态空间方程如下：

left[egin{array}{c}{dot{X}_{1}}{dot{X}_{2}}{dot{X}_{3}}end{array} ight]=left[egin{array}{ccc}{0}&{-1}&{frac{1}{i_{t}}}{frac{k_{s}}{I_{c}}}&{-frac{c_{s}}{I_{c}}}&{frac{c_{s}}{i_tcdotI_{c}}}{frac{-k_{s}}{i_{t}cdotI_{f}}}&{frac{c_{s}}{i_{t}cdotI_{f}}}&{frac{-c_{s}}{i_t^{2}cdotI_{f}}}end{array} ight]left[egin{array}{c}{X_{1}}{X_{2}}{X_{3}}end{array} ight]+left[egin{array}{cc}{0}&{0}{0}&{-frac{1}{I_{c}}}{frac{1}{I_{f}}}&{0}end{array} ight]left[egin{array}{c}{T_{f}}{T_{t}}end{array} ight]

输出量为驱动轴扭矩T_d

T_d=left[egin{array}&k_s&-c_s&frac{c_s}{i_t}end{array} ight]left[egin{array}{l}{X_{1}}{X_{2}}{X_{3}}end{array} ight]

使用工具将状态空间转化为从输入到输出的传递函数[1]：

[egin{pmatrix}frac{{I_c}{c_s}{i_t}s+{I_c}{i_t}{k_s}}{{I_c}{I_f}{{{i_t}}^{2}}{{s}^{2}}+left({I_f}{c_s}{{{i_t}}^{2}}+{I_c}{c_s} ight)s+left({I_f}{{{i_t}}^{2}}+{I_c} ight){k_s}}&frac{{I_f}{c_s}{{{i_t}}^{2}}s+{I_f}{{{i_t}}^{2}}{k_s}}{{I_c}{I_f}{{{i_t}}^{2}}{{s}^{2}}+left({I_f}{c_s}{{{i_t}}^{2}}+{I_c}{c_s} ight)s+left({I_f}{{{i_t}}^{2}}+{I_c} ight){k_s}}end{pmatrix}]

这里我们忽略掉阻力矩，仅分析从发动机扭矩到驱动轴扭矩的传递函数，化简后得到：

G(s)=frac{frac{c_{s}}{i_tcdotI_{f}}s+frac{k_{s}}{i_{t}cdotI_{f}}}{s^{2}+left(frac{c_{s}}{I_{c}}+frac{c_{s}}{I_{f}cdoti_t^{2}} ight)s+left(frac{k_{s}}{I_{c}}+frac{k_{s}}{I_{f}cdoti_t^{2}} ight)}

从这里可以看到，G(s)是一个二阶的系统，传递函数的分母具有如下形式：

s^{2}+left(frac{c_{s}}{I_{c}}+frac{c_{s}}{I_{f}cdoti_t^{2}} ight)s+left(frac{k_{s}}{I_{c}}+frac{k_{s}}{I_{f}cdoti_t^{2}} ight)=s^{2}+2cdotzetacdotomega_{n}cdots+w_{n}^{2}

其中，zeta和omega_n分别为系统的阻尼系数和自然频率。传动链振动的自然频率(jerk频率)可以写为：

omega_{n}=sqrt{left(frac{k_{s}}{I_{c}}+frac{k_{s}}{I_{f}cdoti_t^{2}} ight)}

这表明，振动频率仅取决于驱动轴刚度，飞轮的转动惯量，传动比，车轮转动惯量，车轮半径和车辆质量。

分析到这里，就为后续Anti-jerk设计控制器奠定了基础。

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