为什么轮子与地面接触时接触点速度为零？数学证明来了！

直觉可能无法解释轮子与地面接触时接触点速度为零的现象，但数学可以给出严谨的证明。本文将通过数学公式和逻辑推理，详细解释这一现象。首先，我们假设地面存在摩擦，且除了地面外没有其他外力作用于轮子。将坐标系{s}固定在地面上，Z轴垂直屏幕指向观察者；坐标系{b}固定在轮子上，原点位于轮心。轮子被视为刚体，轮上一点q的位置可以表示为q=p+Rr，其中p为轮心的位置向量，R为轮坐标系{b}对应的旋转矩阵，r为轮上一点相对轮心的位置。速度是位置对时间的一阶导数。根据上述设定，接触点的速度可以表示为dot{q}=dot{p}+hat{xi}Rr。其中，dot{p}表示轮子的线速度，hat{xi}为角速度向量的反对称矩阵。当轮子纯滚动时，即轮心的水平移动速度dot{x}等于轮子半径d与角速度ω的乘积，即dot{x}=dω。此时，接触点的速度为零，即dot{q}=0。这意味着轮子在没有外力作用下，将保持纯滚动状态。通过数学证明，我们可以得出结论：在轮子纯滚动的情况下，接触点的速度确实为零。这一结论不仅符合直觉，而且具有数学上的严谨性。希望本文的解释能够帮助大家更好地理解这一现象。为什么轮子与地面接触时接触点速度为零？数学证明揭示了背后的逻辑。通过设定坐标系、引入旋转矩阵和速度公式，我们可以得出在纯滚动状态下，接触点速度为零的结论。这一发现不仅丰富了我们对轮子运动的认识，也展示了数学在解释自然现象中的重要作用。

如果直觉不能给你可靠的结论，那就用理性来证明一切吧：-)

废话不多说，下面使用数学证明。

假设地面存在摩擦，并且除了地面，没有其他外力对轮子作用。(如果是光滑地面，轮子可以是滚动和滑动同时存在，切保持运动下去)

假设坐标系{s}固定在地面上，Z轴垂直屏幕指向你；坐标系{b}固定在轮子上，原点在轮心。轮子视为刚体，轮上一点q的位置可以表示为q=p+Rr。其中，p为轮心的位置向量，R为轮坐标系{b}对应的旋转矩阵，r为轮上一点相对轮心的位置并且在坐标系{b}中描述。(如对符号的详细含义不清楚，可以参考RichardMurray的《Amathematicalintroductiontoroboticmanipulation》)

速度为位置对时间的一阶导数，可以表示为

dot{q}=dot{p}+hat{xi}Rr

轮子的线位移和线速度如下：

p=egin{pmatrix}xend{pmatrix},dot{p}=egin{pmatrix}dot{x}end{pmatrix}

其中，x表示轮心的水平移动量。

角速度向量xi和它的反对称矩阵表示如下(Note：图示角速度方向和Z轴的方向相反，故带有负号)

xi=egin{pmatrix}0-omegaend{pmatrix}，hat{xi}=egin{pmatrix}0&-(-omega)&0-omega&0&0&0&0end{pmatrix}

由于描述的点是轮和地面接触的点，故

Rr=egin{pmatrix}0-dend{pmatrix}

其中，d为轮子半径。

结合上面各式，可知接触点的速度为：

dot{q}=egin{pmatrix}dot{x}end{pmatrix}+egin{pmatrix}0&-(-omega)&0-omega&0&0&0&0end{pmatrix}egin{pmatrix}0-dend{pmatrix}=egin{pmatrix}dot{x}-domegaend{pmatrix}

下面分情况讨论：

case3:当dot{x}=domega，接触点无相对速度。此时轮子的运动是纯滚动，如果没有外力作用，轮子一直保持纯滚动状态。

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