如何证明二阶装置系统阻尼比ζ=0.707最优？

二阶系统最优控制中，以误差和误差变化率累计最小为标准，通过构建状态方程和代价函数，利用线性代数和微积分方法求解。发现当阻尼比ζ=0.707时，代价函数达到极小值，即系统整体误差和误差变化率累计最小，证明ζ=0.707为最优阻尼比。

既然牵扯到“最”，那就是最优控制问题，那就需要有一个判定标准，标准是什么呢？——误差和误差变化率累计最小。

详细证明如下：

二阶系统框图如下，现在加入我们要实现最优控制，看看最佳阻尼比应该是什么样。

其开环传递函数为

frac{C(s)}{E(s)}=frac{1}{s(s+2zeta)}

误差为：

E(s)=R(s)-C(s)

将上面两个传递函数变成时域方程为：

ddotc+2zetadotc=e

e=r-c

联立以上两式就可以得到

ddote+2zetadote+e=ddotr+2zetadotr

传递函数只能描述单输入单输出系统，现在我们要把它改成状态方程的形式：

egin{equation}egin{aligned}x_1=ex_2=doteend{aligned}end{equation}

也就是我们要研究误差和误差变化率，为简单起见，我们假设输入为阶跃信号，即ddotr=0，dotr=0，r=1，对应的e=1，dote=0。这样状态方程就变成

dot{m{x}}=m{A}m{x}

其中

m{A}=egin{bmatrix}0&1-1&-2zetaend{bmatrix}

完整状态方程为

egin{bmatrix}dot{x_1}dot{x_2}end{bmatrix}=egin{bmatrix}0&1-1&-2zetaend{bmatrix}egin{bmatrix}{x_1}{x_2}end{bmatrix}

我们定义代价函数为：

J=int_0^{infty}(e^2+{dote}^2)dt

即两个变量之间同等权重，用变量表示

J=int_0^{infty}(x_1^2+x_2^2)dt

现在我们想要J最小，具体应该怎么做呢？先将代价函数写成紧凑一点的形式：

J=int_0^{infty}m{x}^Tm{x}dt

这是个积分的问题，所以我们要先找到被积函数m{x}^Tm{x}的原函数，这个数学问题不是我们的重点，假设我们现在已经知道原函数的长相为m{x}^Tm{P}m{x}，即

frac{d}{dt}(m{x}^Tm{P}m{x})=-m{x}^Tm{x}

其中m{P}是一个待定的实对称矩阵，我们把它看成待定系数，现在要研究一下这系数需要满足什么条件，我们把上式的左边微分展开：

frac{d}{dt}(m{x}^Tm{P}m{x})=dot{m{x}}^Tm{P}m{x}+m{x}^Tm{P}dot{m{x}}

把状态方程dot{m{x}}=m{A}m{x}代入上式，于是我们就得到：

frac{d}{dt}(m{x}^Tm{P}m{x})=m{x}^T(m{A}^Tm{P}+m{PH})m{x}

如果我们保证m{A}^Tm{P}+m{PA}=-m{I}，由于m{A}是已知的，这样我们就能确定m{P}，也就能确定原函数m{x}^Tm{P}m{x}，此时

J=int_0^{infty}m{x}^Tm{x}dt=-m{x}^Tm{P}m{x}igg_0^{infty}=m{x}^T(0)m{P}m{x}(0)-m{x}^T(infty)m{P}m{x}(infty)

我们的系统是稳定的，而且输入为零，这样我们就可以得到m{x}_{infty}=0，所以代价函数可以进一步简化为：

J=m{x}^T(0)m{P}m{x}(0)

其中m{P}满足m{A}^Tm{P}+m{PA}=-m{I}。

注意：所有的二次型最优控制，形式可能会很复杂，但是处理思路和方式都是这样。

至于m{P}怎么求解，我们就不说了，就是我们一直使用的待定系数法，感兴趣可参见KatsuhikoOgata的“ModernControlEngineeringFifthEdition”，我们的计算得到的m{P}为：

m{P}=egin{bmatrix}zeta+frac{1}{2zeta}&frac{1}{2}frac{1}{2}&frac{1}{2zeta}end{bmatrix}

将m{x}(0)=egin{bmatrix}{1}&{0}end{bmatrix}^T代入J=m{x}^T(0)m{P}m{x}(0)

就可以得到代价函数为：

J=zeta+frac{1}{2zeta}

现在我们要计算J的极小值，先对变量微分

frac{dJ}{dzeta}=1-frac{1}{2zeta^2}

于是当frac{dJ}{dzeta}=0时，可计算得到zeta=frac{sqrt2}{2}approx0.707

也就是说，当阻尼比zeta取0.7左右时，J=int_0^{infty}(e^2+{dote}^2)dt这个损失函数取极小值——也就是说从整体来看，误差和误差变化率累计最小，这就是为什么我们一般把二阶系统的阻尼比设置在0.7左右的原因。

摘选自长篇专栏文章：JPan：什么是二次型最优控制

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